Kakulus Bab II
BAB
II
FUNGSI
KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
- Konsep fungsi
Fungsi
atau Pemetaan merupakan Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut
fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A
berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B.f adalah
suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f
dilambangkan dengan f : A B
Operasi
dalam Fungsi :
- Penjumlahan : (f+g)(x) = f(x) + g(x)
- Pengurangan : (f-g)(x) = f(x) – g(x)
- Perkalian : (f.g)(x) = f(x) . g(x)
y = f(x)
jika
x A dan y B, sehingga (x,y) f, maka y disebut peta atau
bayangan dari x oleh fungsi f dinyatakan dengan lambang y : f (x)
(ditunjukkan dalam gambar disamping)
A B
f : x y = f (x)
y = f (x) : rumus untuk fungsi f
x disebut variabel bebas
y disebut variabel tak bebas
Contoh :
Diketahi f : A B dan dinyatakan oleh rumus f (x) = 2x – 1.
Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 x 4. x R}
Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 x 4. x R}
Tentukan f (0), f (1), f (2), f (3) dan f (4).
Gambarkan grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1 dalam bidang kartesius.
Tentukan daerah hasil dari fungsi f.
Jawab :
f (x) = 2x – 1, maka :
f (0) = -1
f (1) = 1
f (2) = 3
f (3) = 5
f (4) = 7
Grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1
8 y = f (x) = 2x – 1
7
5
3
1
1 2 3 4 5
-1 Daerah
asal
Daerah hasil fungsi f Rf = {y | -1 y 7, y R}
Jika daerah asal dari suatu fungsi f tidak atau belum ditentukan, maka dapat diambil daerah asalnya himpunan dari semua bilangan real yang mungkin, sehingga daerah hasilnya merupakan bilangan real. Daerah asal yang ditentukan dengan cara seperti itu disebut daerah asal alami (natural domain).
Contoh :
Tentukan daerah asal alami dari fungsi berikut :
f (x) =
Jawab :
f (x) = , supaya f (x) bernilai real maka x + 1 0 atau x -1
Jadi Df : {x | x R, dan x -1}
- Pengertian fungsi komposisi
Merupakan penggabungan operasi
dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru.
Penggabungan tersebut disebut
komposisi fungsi
dan hasilnya disebut fungsi komposisi
Operasi komposisi dilambangkan dengan o (dibaca : komposisi atau
bundaran).
Misalkan: f : A B dan g : B C
x
g(x)
f(g(x))
A
B
C
g(x)
f(g(x))
- Notasi : (f o g)(a) = f(g(a)) Ã fungsi yang memetakan nilai dari g(a) ke f
Contoh
- Diketahui
f : R
R ; f(x) = 2x² +1, g : R
R ; g(x) = x + 3
(f o g)(x) = f(g(x))
=
f(x+3)
=
2(x+3)²+1
= 2(x² + 6x + 9) + 1 = 2x²+12x+19
Jawab:
(g o f)(x) = g(f(x))
= g(2x²+1) = 2x² + 1 + 3 = 2x² + 4
(f o g)(1) = f(g(1))
= f(4) = 2. (4)² +1 = 2.16 + 1 = 33
(g o f)(1) = g(f(1))
= g(3) = 3 + 3 = 6
- Sifat-sifat Komposisi Fungsi
Jika f : A
B ; g : B
C ; h : C
D, maka berlaku:
i. (fog)(x)
≠ (g o f)(x) (tidak komutatif)
ii. ((fog)oh)(x)
= (fo(goh))(x)
(sifat asosiatif)
iii. (foI)(x)
= (Iof)(x) = f(x) (elemen
identitas)
perhatikan
contoh soal :
- Diketahui sebuah f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x2 + 2, I(x) = x
Maka
nilai
(f
o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x
(g
o f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2
– 2x
(g
o h)(x) = g(h(x)) = g(x2
+ 2) = 3 – (x2
+ 2) = 1 - x2
Dari
hasil di atas tampak bahwa (fog)(x)
≠ (g o f)(x)
Kemudian
nilai
((fog)oh)(x)
= (fog)(h(x))= (fog)(
x2
+ 2)=
7 – 2(x2
+ 2) = 3 - 2x2
(fo(goh))(x)=f((goh)(x))=
f(1 - x2)=
2(1 - x2)
+ 1 = 2 – 2
x2
+ 1 = 3 – 2
x2
Dari
hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x)
= (fo(goh))(x)
Begitu
juga
(foI)(x)
= f(I(x)) = f(x) = 2x + 1
(Iof)(x)
= I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1
Dari
hasil di atas tampak bahwa (foI)(x)
= (Iof)(x) = f(x)
- Konsep Fungsi Invers
- Definisi
Jika fungsi f : A B dinyatakan
dengan pasangan terurut f:{(a,b)laA
dan bB},
maka invers dari fungsi f adalah f-1:
B A ditentukan oleh: f-1:{(b,a)lbB
dan aA}.
Jika f : A B, maka f mempunyai
fungsi invers f-1
: B
A
jika dan hanya jika f adalah fungsi bijektif atau korespondensi
1-1.
Jika
f : y = f(x)
f -1
:
x = f(y)
Maka (f
o f -1)(x)
= (f-1
o f)(x) = I(x) (fungsi identitas)
- Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers
- f(x) = ax + b; a ≠ 0 f -1(x) =; a ≠ 0
- f(x) = ; x ≠ - f -1(x) = ; x ≠
- f(x) = acx ; a > 0 f -1(x) = alog x1/c = alog x ; c ≠ 0
- f(x) = a log cx ; a > 0; cx > 0 f -1(x) = ; c ≠ 0
- f(x) = ax²+bx+c; a≠0 f -1(x)=
ingat :
Fungsi kuadrat secara umum tidak
mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya
dibatasi.
Contoh
- Diketahui f: R R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f -1 (x)!Cara 1:
y = 2x - 5 (yang
berarti x = f -1(y))
2x = y + 5
2x = y + 5
x =
f -1(x) =
f -1(x) =
Cara 2:
f(x) = ax + b
f -1(x)
=
f(x) = 2x – 5
f -1(x)
=
Contoh
- Diketahui Tentukan !
Cara 1:
y(x - 4) = 2x + 1
yx – 4y = 2x + 1
yx – 2x = 4y + 1
x(y – 2) = 4y + 1
x =
f -1(x)
=
Cara 2:
f(x) =
f -1(x)
=
f -1(x)
=
- Aplikasi fungsi komposisi
- Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui
Misalkan
fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah
fungsi f(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi g(x).
Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x)
diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa
menentukan fungsi f(x).
Contoh
:
- Diketahui g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12, tentukan rumus fungsi f(x)!
Cara
1:
(g
o f)(x) = 2x2
+ 2x – 12
g(f(x))
= 2x2
+ 2x – 12
3
– 2f(x) = 2x2
+ 2x – 12
-2f(x)
= 2x2
+ 2x – 15
f(x)
= -x2
– x + 7,5
Cara
2:
g(x)
= 3 – 2x
g -1(x)
=
f(x)
= [g -1
o (g o f)](x)
f(x)
=
Latihan
Soal:
- Diketahui f(x) = 2x + 5 dan g(x) = , maka (fg)(x)?
- Diketahui fungsi-fungsi f : R R didefinisikan dengan f(x) = 3x – 5, g : R R didefinisikan dengan g(x) = . Hasil dari fungsi (fg)(x)?
- Fungsi f dan g adalah pemetaan dari R ke R yang dirumuskan oleh f(x) = 3x + 5 dan g(x) = . Rumus (gf)(x)?
- Diketahui f : R R didefinisikan dengan f(x) = 3x – 5, g : R R didefinisikan dengan . Hasil dari fungsi (gof)(x)?
- Jika f(x) = dan (fg)(x) = 2, maka fungsi g adalah g(x)?
- Diketahui fungsi f(x) = , dan g(x) = x2 + x + 1. Nilai komposisi fungsi (g f)(2) adalah
- Suatu pemetaan f : R R, g : R R dengan (q f)(x) = 2x2 + 4x + 5 dan g(x) = 2x + 3, maka f(x)?
- Fungsi f : R R didefinisikan dengan f(x) = . Invers dari f(x) adalah f – 1 (x)
Komentar
Posting Komentar