Kalkulus Bab IV

BAB IV

TURUNAN DAN APLIKASINYA

1. Konsep turunan

• Laju Perubahan Nilai Fungsi

f(a+h) Q

f(a+h)-f(a)

f(a) P

a a+h

h

Perhatikan grafik fungsi y=f(x) pada interval dan nilai fungsi berubah dari

. Koordinat dan dapat disimpulkan bahwa:

Perubahan rata-rata nilai fungsi f terhadap x dalam interval dapat diperoleh dari:

Nama disebut laju perubahan nilai fungsi f(x) pada . Nilai limit tersebut dilambangkan dan disebut turunan fungsi f(x) terhadap x untuk

Kesimpulan:

Contoh 1:

Diketahui Tentukan

Jawab:

2. Notasi Turunan dan Rumus Dasar Turunan

Turunan dari sebuah fungsi f dengan variabel x atau f(x) adalah fungsi lain yang dinotasikan dengan f ¹(x). Jika kita menuliskan y = f(x), adalah koefisien turunan (diferensial) untuk fungsi f(x). Atau turunan dari fungsi f dapat juga dinyatakan dengan menggunakan operator D dengan menuliskan D[f(x)] = f ¹(x). Dapat di tuliskan notasi turunan sebagai berikut:

Dimana: atau notasi aksen.

Notasi disebut pula notasi Leibnizt.

Tabel berikut ini memuat daftar turunan (diferensial) baku yang akan membantu kita dalam menyelesaikan persoalan turunan fungsi sederhana.

Rumus Dasar Turunan

No	y = f(x)	= f ’(x)
1	k, k adalah konstanta	0
2	xn	nxn-1 , n  Riil
3	ex	ex
4	ekx	kekx
5	ax	ax ln(a)
6	ln(x)
7	loga x

Selanjutnya kita akan mengenal terlebih dahulu sifat-sifat turunan yang juga akan memudahkan kita dalm menyelesaikan persoalan turunan.

3. Rumus turunan fungsi aljabar

Jika n bilangan rasional, a dan c konstanta sedangkan f'(x) turunan dari f(x) maka berlaku rumus turunan

Jika f(x) = c maka turunannya adalah f'(x) = 0.

Jika f(x) = xⁿ maka turunannya adalah f'(x) = nx^{n – 1}.

Jika f(x) = axⁿ maka turunannya adalah f'(x) = anx^{n – 1}.

• Sifat-sifat turunan.

Jika f(x) dan g(x) adalah dua fungsi yang mempunyai turunan yaitu f ’(x) dan g ’(x) maka berlaku :

1. (x)
5. , g(x) ≠ 0

untuk dua sifat (rumus) terakhir dapat diringkaskan agar memudahkan kita untuk menghafalnya, yaitu dengan cara memisalkan u = f(x) maka u¹ = f ¹(x) dan v = g(x) maka v¹ = g ¹(x). sehingga dua rumus terakhir dapat dituliskan sebagai berikut :

dan , v ≠ 0.

Selanjutnya, contoh-contoh berikut akan menjelaskan bagaimana daftar (rumus) dasar turunan dan sifatnya dapat digunakan dalam menyelesaikan persoalan turunan untuk fungsi sederhana.

Perhatikan Contoh contoh di bawah ini

1. Tentukan turunan dari fungsi y = x⁴ + 5x³ – 4x² + 7x – 2.

Penyelesain

y = x⁴ + 5x³ – 4x² + 7x – 2, berdasarkan rumus no.1 dan 2 pada daftar maka

= 4x^4-1 + 5 (3x^3-1) – 4 (2x^2-1) + 7 (x^1-1) – 0

= 4x³ + 15x² - 8x + 7.

Contoh

2. Tentukan turunan dari fungsi y = 3x⁴ – 7x³ + 4x² + 3x – 4 pada x = 2.

Penyelesaian.

y = 3x⁴ – 7x³ + 4x² + 3x – 4, berdasarkan rumus no.1 dan 2 pada daftar maka

= 3 (4x³) – 7 (3x²) + 4 (2x) + 3 (1) – 0

= 12x³ – 21x² + 8x + 3 dan untuk x = 2, maka

= 12 (2)³ – 21 (2)² + 8 (2) + 3 = 31.

4. Rumus turunan fungsi trigonometri

• Turunan Sinus dan Kosinus

pada dasarnya turunan sinus dan kosinus mengacu pada definisi turunan, namun hasilnya telah diringkaskan pada teorema berikut :

• Teorema 1

Fungsi-fungsi f (x) = sin x dan g(x) = cos x, keduanya mempunyai turuna (dapat didiferensialkan) yaitu turunan sin x adalah f ’(x) = cos x dan turunan cos x adalah g ’(x) = - sin x.

Dengan menggunakan teorema 1 diatas dan rumus turunan hasil kali serta turunan hasil bagi, maka dapat di tentukan rumus turunan fungsi trigonometri lainnya yang dinyatakan pada teorema berikut.

• Teorema 2

Turunan trigonometri

1. = cos x
2. = – sin x,
3. = sec² x.
4. = - cosec² x.
5. = sec x . tan x
6. = - cosec x . cotan x

Bukti:

b).

• y sebagai fungsi trigonometri :

y = sin x turunannya y’ = cos x

y = cos x turunannya y’ = -sin x

y = tg x turunannya y’ = sec²x

y = ctg x turunannya y’ = -cosec²x

y = secx turunannya y’ = secx tgx

y = cosecx turunannya y’ = -cosecx ctg x

Contoh : y = -3tgx  y’ = -3sec²x

y = ctg2x  y’ = -2cosec² 2x

y = sec2x  y’ = 2sec2x tg2x

y = cosec3x  y’ = -3cosec3x ctg3x

y = cos(1-x²)  y’ = 2xsin(1-x²)

• y sebagai fungsi logaritma :

y = ln x turunannya y’ = 1/x

y = ^glogx turunannya y’ = 1/xlng

Contoh : y = ³logx  1 / x ln3

y = ln 2x  1 / 2x

• y sebagai fungsi eksponen :

y = a^x turunannya y’ = a^x ln a

y = e^x turunannya y’ = e^x

Contoh : y = 2^x  y’= 2^xln 2

y = e^x  y’ = e^x

y = x² – e^3x  y = 2x – e^3x

Contoh

1. Turunan Dengan Aturan Rantai.

Turunan dengan aturan rantai muncul dari fungsi yang merupakan komposit fungsi lainnya. Rumus turunan aturan rantai dinyatakan dalam teorema berikut.

• Teorema 3.

Misalkan menentukan fungsi komposit y = f[g(x)] = (f o g)(x). Jika g punya turunan di x dan f punya turunan di u, maka (f o g)(x) punya turunan di x

yaitu : (f o g) ’(x) = f ’[g(x)] . g ’(x), atau = . .

Jika y = f(u) dan u = g(v) dan v = h(x), maka = . . disebut aturan rantai bersusun dan dapat dilanjutkan untuk fungsi yang komposisinya lebih dari tiga.

Contoh

1. Tentukan turunan dari fungsi y = (3x + 5)⁴.

Penyelesaian.

Misalkan u = 3x + 5  y = u⁴

= 4u³ dan = 3,

sehingga = .

= (4u³) (3)

= 12u³ = 12 (3x + 5)³

2. Aplikasi turunan

Turunan suatu fungsi dapat digunakan dalam penafsiran geometris dari suatu fungsi, diantaranya:

1. Gradien garis singgung kurva f(x) di titik x = a , yaitu m = f’(a)

Rumus persamaan garis singgung kurva yang melalui titik (a, b) dan bergradien m adalah:

y – b = m(x – a)

2. Fungsi f(x) naik, jika f’(x) > 0, dan turun, jika f’(x) < 0
3. Fungsi f(x) stasioner jika f’(x) = 0
4. Nilai stasioner f(x) maksimum jika f’’(x) < 0, dan minimum jika f’’(x) > 0