Kalkulus Bab V
BAB V
INTEGRAL
1. KONSEP INTEGRAL
Integral adalah kebalikan dari turunan (diferensial). Oleh karena itu integral disebut juga anti diferensial. Ada 2 macam integral, yaitu integral tentu dan integral tak tentu. Integral tentu yaitu integral yang nilainya tertentu, sedangkan integral tak tentu, yaitu integral yang nilainya tak tentu. Pada integral tentu ada batas bawah dan batas atas yang nanti berguna untuk menentukan nilai integral tersebut. Kegunaan integral dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali, diantaranya menentukan luas suatu bidang, menentukan voluem benda putar, menentukan panjang busur dan sebagainya. Integral tidak hanya dipergunakan di matematika saja. Banyak bidang lain yang menggunakan integral, seperti ekonomi, fisika, biologi, teknik dan masih banyak lagi disiplin ilmu yang lain yang . Jika turunan suatu fungsi : Y = f (X) ; maka untuk menentukan fungsi asalnya melakukan pengintgrasian.
F (X) = ∫ f (x) dx ;
Keterangan:
∫ : Tanda Integral
f (x) : Integran (fungsi yang diintegralkan)
dx : Operator penurunan yang mengikat operasi yang dibentuk terhadap variabel X.
Maka dF(X) / dx = f (x) ; maka : ∫ f(x) dx = F (X) + C
2. INTEGRAL TAK TENTU
Integral tak Tertentu dari fungsi aljabar
Karena integral merupakan kebalikan (invers) dari turunan, maka untuk menemukan rumus integral kita beranjak dari turunan. Turunan suatu fungsi y = f(x) adalah y ‘ = f ‘ (x) atau , sedangkan notasi integral dari suatu fungsi y = f(x) adalah yang dibaca “ integral y terhadap x ”.
Turunan suatu fungsi konstan adalah 0 atau integral 0 adalah suatu fungsi konstan, biasanya diwakili oleh notasi c.
Rumus umum integral dari adalah atau ditulis :
untuk
Contoh 1 : Tentukan :
Penyelesaian :
LATIHAN SOAL
1. Integralkan !
Pemakaian Integral Tak Tentu
Pada integral tak tentu terdapat nilai konstanta c yang tidak tentu nilainya. Untuk menentukan fungsi f dari suatu fungsi turunan, maka harus ada data yang lain sehingga harga c dapat diketahui..
Contoh 1 : Diketahui f ‘(x) = 5x – 3 dan f(2) = 18. Tentukan f(x) !
Penyelesaian :
Jadi
Contoh 2 : Jika gradien garis singgung di titik (x,y) pada sebuah kurva yang melalui titik (3,4) ditentukan , maka tentukan persamaan kurva tersebut !
LATIHAN SOAL
1. Tentukan rumus f(x) jika diketahui :
a. f ‘(x) = 2x dan f(4) = 10
b. f ‘(x) = 8x – 3 dan f(-1) = 10
c. f ‘(x) = dan f(1) =
d. f ‘(x) = x - dan f(4) = -3
e. f ‘(x) = 1 - dan f(4) = 1
2. Diketahui titik (3,2) terletak pada kurva dan gradien garis singgung di titik (x,y) pada kurva tersebut didefinisikan 2x – 3. Tentukan persamaan kurva tersebut !
3. Gradien suatu kurva pada setiap titik (x,y) ditentukan oleh dan kurva itu melalui titik (-3,2). Tentukan persamaan kurva itu !
4. Kecepatan suatu benda bergerak dinyatakan oleh . Setelah benda itu bergerak 1 detik, jarak yang ditempuh 4 m. Tentukan persamaan gerak dari benda itu !
5. Diketahui rumus percepatan a(t)= dan kecepatan v(0) = 6. Tentukanlah rumus kecepatan v(t) jika a(t)=
Integral Tak Tertentu dari fungsi Trigonometri
Kita telah mempelajari turunan fungsi trigonometri yang secara ringkas dapat digambarkan sebagai berikut :
artinya turunan.
Karena integral adalah invers dari turunan maka :
Bentuk dasar tersebut adalah:
1. dx = -cos x + C
2. dx = sin x + C
3. x dx = ln
= -ln
4. x dx = - ln
= ln
5. dx = ln
x dx = ln
6. dx = tan x + C
Contoh 1 : Tentukan :
Penyelesaian :
Contoh 2 :
2.
Jawab
=
= dx
=
=
LATIHAN SOAL
1. Tentukan integral fungsi berikut !
3. INTEGRAL TERTENTU
Definisi :
Misal f(x) suatu fungsi yang didefinisikan pada [a,b], selanjutnya f(x) dikatakan terintegralkan (integrable) pada [a,b]
jika ada.
Selanjutnya disebut Integral Tentu (Integral Riemann) f(x) dari a ke b, dan didefinisikan
= .
menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva
y = f(x) dan sumbu x dalam selang [a,b], jika bertanda negatif maka menyatakan luas daerah yang berada dibawah sumbu x.
Definisi :
1. = 0
2. = - , a > b
Teorema Dasar Kalkulus
Teorema dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu, berikut teorema tersebut :
Misal f(x) kontinu pada [a,b] dan F(x) sebarang anti turunan f(x), maka = F(b) – F(a)
Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) =
Contoh :
1. Perlihatkan bahwa jika r Q dan r -1, maka
Jawab :
Karena F(x) = suatu anti turunan dari f(x) = xr, maka menurut teorema dasar Kalkulus
Contoh :
Hitung
Jawab :
= 4
= 4 = 12
Sifat-Sifat Integral Tentu
1. Sifat Penambahan Selang
Teorema :
Jika f(x) terintegralkan pada suatu selang yang memuat tiga titik a, b dan c, maka
= + bagaimanapun urutan a, b dan c.
Contoh :
1. 2.
3.
2. Sifat Simetri
Jika f(x) fungsi genap, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat
f(-x) = f(x) , maka:
= 2 dan
Jika f(x) fungsi ganjil, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat
f(-x) = - f(x), maka
= 0.
Contoh :
1.
2. = 0
Secara lebih umum, sifat-sifat integral tertentu adalah:
Jika f(x) dan g(x) kontinu pada interval [a,b] dan k Real dan f(x), g(x)
terintegralkan pada interval tersebut, maka:
1.
2.
3.
4.
5. , jika b < a
6. , c
7. jika f(-x) = -f(x)
8. = 2 , jika f(-x) = f(x)
9. Jika F(u) = , maka
10. = (b-a) untuk paling sedikit x = x antara a dan b.
11. jika dan hanya jika f(x) g(x) untuk setiap x [a,b].
12.
Contoh
Tentukan hasil integral
1.
Jawab
=
=
= (4+2) – (0+0) = 6
2.
Jawab
Misalnya u = (x)
du = 3xdx
Untuk x = 0 maka u = 1 dan untuk x = 2 maka u = 9, sehingga:
=
=
=
hasil pengintegralan fungsi-fungsi berikut ini:
1.
2.
=
= , dengan sifat integral diperoleh
= - dx +
=
=
=
4. INTEGRAL SUBSTITUSI
Cara menentukan integral dengan menggunakan cara substitusi-1 yaitu dengan mengubah bentuk integral tersebut ke bentuk lain dengan notasi lain yang lebih sederhana sehingga mudah menyelesaikannya. Cara ini digunakan jika bagian yang satu ada kaitan turunan dari bagian yang lain.
Contoh 1 : Tentukan integral dari :
Penyelesaian :
a. Misal :
Maka:
Sehingga :
b. Misal u = sin x
Sehingga :
Istilah lain untuk integral substitusi adalah pemisalan. Teknik substitusi pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;
a. dx = + C, asalkan n -1 atau
b. = + C, asalkan n -1
Karena rumus di atas adalah pedoman umum. maka integrannya menyesuaikan dengan rumus di atas. Jika belum sesuai atau menyimpang dari bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan demikian setelah integran sesuai dengan bentuk baku integralnya dapat dilakukan dengan mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu. Akhirnya selesaiannya dapat dilakukan dengan metode substitusi.
Perhatikan beberapa contoh berikut:
1. dx
Misal u =
Substitusi bentuk terakhir ke dx, diperoleh
= -2
Dengan rumus dasar di dapat
dx = -2
= -2
= -
2.
Misal A = 3x + 12
d(A) = d(3x+12)
dA = 3 dx
dx =
Sehingga =
=
=
=
=
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:
1.
Jawab
Misal M = (t+2)
M = (t+2)
2M dM = 3(t+2)dt
=
=
= + C
= + C
=
LATIHAN SOAL
Tentukan integral dari fungsi –fungsi berikut dengan menggunakan metode substitusi !
5. INTEGRAL PARSIAL
Secara umum integral parsial digunakan untuk menentukan selesaian integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u = f(x) dan v = g(x).
Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi
y = uv diperoleh
dy = d(uv)
d(uv) = u dv + v du
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh
Sehigga Seperti telah kita ketahui pada turunan jika y = uv maka y ‘ =u ’ v + uv ’. Jika kita integralkan kedua rua, maka akan didapat :
Rumus di atas sering disingkat dengan :
Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi u dv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan tersebut.
Perhatikan beberapa contoh berikut ini.
Tentukan integral persial berikut ini
1.
Jawab
Bentuk diubah menjadi udv,
Misal u = x , dv = 1 dx
dv = cos x dx , v = dx = sin x
Akibatnya = x d(sin x).
Dengan rumus integral parsial
, diperoleh
x d(sin x) = x sin x - d(x)
= x sin x - dx
= x sin x + cos x + C
Akhirnya diperoleh = x sin x + cos x + C
2. dx
Pilih u = x , du = dx
dv = , v = dx =
Sehingga dx =
Berdasarkan rumus integral parsial
, diperoleh
dx =
= -
= -
= -
Contoh 1 : Tentukan :
Penyelesaian : a. Misal 2x = u maka 2 dx = du
Misal dv =
b. Misal x = u maka dx = du
Misal dv = sin x dx maka v = -cos x
LATIHAN SOAL
Tentukan integral berikut dengan metode parsial !
INTEGRAL
1. KONSEP INTEGRAL
Integral adalah kebalikan dari turunan (diferensial). Oleh karena itu integral disebut juga anti diferensial. Ada 2 macam integral, yaitu integral tentu dan integral tak tentu. Integral tentu yaitu integral yang nilainya tertentu, sedangkan integral tak tentu, yaitu integral yang nilainya tak tentu. Pada integral tentu ada batas bawah dan batas atas yang nanti berguna untuk menentukan nilai integral tersebut. Kegunaan integral dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali, diantaranya menentukan luas suatu bidang, menentukan voluem benda putar, menentukan panjang busur dan sebagainya. Integral tidak hanya dipergunakan di matematika saja. Banyak bidang lain yang menggunakan integral, seperti ekonomi, fisika, biologi, teknik dan masih banyak lagi disiplin ilmu yang lain yang . Jika turunan suatu fungsi : Y = f (X) ; maka untuk menentukan fungsi asalnya melakukan pengintgrasian.
F (X) = ∫ f (x) dx ;
Keterangan:
∫ : Tanda Integral
f (x) : Integran (fungsi yang diintegralkan)
dx : Operator penurunan yang mengikat operasi yang dibentuk terhadap variabel X.
Maka dF(X) / dx = f (x) ; maka : ∫ f(x) dx = F (X) + C
2. INTEGRAL TAK TENTU
Integral tak Tertentu dari fungsi aljabar
Karena integral merupakan kebalikan (invers) dari turunan, maka untuk menemukan rumus integral kita beranjak dari turunan. Turunan suatu fungsi y = f(x) adalah y ‘ = f ‘ (x) atau , sedangkan notasi integral dari suatu fungsi y = f(x) adalah yang dibaca “ integral y terhadap x ”.
Turunan suatu fungsi konstan adalah 0 atau integral 0 adalah suatu fungsi konstan, biasanya diwakili oleh notasi c.
Rumus umum integral dari adalah atau ditulis :
untuk
Contoh 1 : Tentukan :
Penyelesaian :
LATIHAN SOAL
1. Integralkan !
Pemakaian Integral Tak Tentu
Pada integral tak tentu terdapat nilai konstanta c yang tidak tentu nilainya. Untuk menentukan fungsi f dari suatu fungsi turunan, maka harus ada data yang lain sehingga harga c dapat diketahui..
Contoh 1 : Diketahui f ‘(x) = 5x – 3 dan f(2) = 18. Tentukan f(x) !
Penyelesaian :
Jadi
Contoh 2 : Jika gradien garis singgung di titik (x,y) pada sebuah kurva yang melalui titik (3,4) ditentukan , maka tentukan persamaan kurva tersebut !
LATIHAN SOAL
1. Tentukan rumus f(x) jika diketahui :
a. f ‘(x) = 2x dan f(4) = 10
b. f ‘(x) = 8x – 3 dan f(-1) = 10
c. f ‘(x) = dan f(1) =
d. f ‘(x) = x - dan f(4) = -3
e. f ‘(x) = 1 - dan f(4) = 1
2. Diketahui titik (3,2) terletak pada kurva dan gradien garis singgung di titik (x,y) pada kurva tersebut didefinisikan 2x – 3. Tentukan persamaan kurva tersebut !
3. Gradien suatu kurva pada setiap titik (x,y) ditentukan oleh dan kurva itu melalui titik (-3,2). Tentukan persamaan kurva itu !
4. Kecepatan suatu benda bergerak dinyatakan oleh . Setelah benda itu bergerak 1 detik, jarak yang ditempuh 4 m. Tentukan persamaan gerak dari benda itu !
5. Diketahui rumus percepatan a(t)= dan kecepatan v(0) = 6. Tentukanlah rumus kecepatan v(t) jika a(t)=
Integral Tak Tertentu dari fungsi Trigonometri
Kita telah mempelajari turunan fungsi trigonometri yang secara ringkas dapat digambarkan sebagai berikut :
artinya turunan.
Karena integral adalah invers dari turunan maka :
Bentuk dasar tersebut adalah:
1. dx = -cos x + C
2. dx = sin x + C
3. x dx = ln
= -ln
4. x dx = - ln
= ln
5. dx = ln
x dx = ln
6. dx = tan x + C
Contoh 1 : Tentukan :
Penyelesaian :
Contoh 2 :
2.
Jawab
=
= dx
=
=
LATIHAN SOAL
1. Tentukan integral fungsi berikut !
3. INTEGRAL TERTENTU
Definisi :
Misal f(x) suatu fungsi yang didefinisikan pada [a,b], selanjutnya f(x) dikatakan terintegralkan (integrable) pada [a,b]
jika ada.
Selanjutnya disebut Integral Tentu (Integral Riemann) f(x) dari a ke b, dan didefinisikan
= .
menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva
y = f(x) dan sumbu x dalam selang [a,b], jika bertanda negatif maka menyatakan luas daerah yang berada dibawah sumbu x.
Definisi :
1. = 0
2. = - , a > b
Teorema Dasar Kalkulus
Teorema dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu, berikut teorema tersebut :
Misal f(x) kontinu pada [a,b] dan F(x) sebarang anti turunan f(x), maka = F(b) – F(a)
Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) =
Contoh :
1. Perlihatkan bahwa jika r Q dan r -1, maka
Jawab :
Karena F(x) = suatu anti turunan dari f(x) = xr, maka menurut teorema dasar Kalkulus
Contoh :
Hitung
Jawab :
= 4
= 4 = 12
Sifat-Sifat Integral Tentu
1. Sifat Penambahan Selang
Teorema :
Jika f(x) terintegralkan pada suatu selang yang memuat tiga titik a, b dan c, maka
= + bagaimanapun urutan a, b dan c.
Contoh :
1. 2.
3.
2. Sifat Simetri
Jika f(x) fungsi genap, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat
f(-x) = f(x) , maka:
= 2 dan
Jika f(x) fungsi ganjil, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat
f(-x) = - f(x), maka
= 0.
Contoh :
1.
2. = 0
Secara lebih umum, sifat-sifat integral tertentu adalah:
Jika f(x) dan g(x) kontinu pada interval [a,b] dan k Real dan f(x), g(x)
terintegralkan pada interval tersebut, maka:
1.
2.
3.
4.
5. , jika b < a
6. , c
7. jika f(-x) = -f(x)
8. = 2 , jika f(-x) = f(x)
9. Jika F(u) = , maka
10. = (b-a) untuk paling sedikit x = x antara a dan b.
11. jika dan hanya jika f(x) g(x) untuk setiap x [a,b].
12.
Contoh
Tentukan hasil integral
1.
Jawab
=
=
= (4+2) – (0+0) = 6
2.
Jawab
Misalnya u = (x)
du = 3xdx
Untuk x = 0 maka u = 1 dan untuk x = 2 maka u = 9, sehingga:
=
=
=
hasil pengintegralan fungsi-fungsi berikut ini:
1.
2.
=
= , dengan sifat integral diperoleh
= - dx +
=
=
=
4. INTEGRAL SUBSTITUSI
Cara menentukan integral dengan menggunakan cara substitusi-1 yaitu dengan mengubah bentuk integral tersebut ke bentuk lain dengan notasi lain yang lebih sederhana sehingga mudah menyelesaikannya. Cara ini digunakan jika bagian yang satu ada kaitan turunan dari bagian yang lain.
Contoh 1 : Tentukan integral dari :
Penyelesaian :
a. Misal :
Maka:
Sehingga :
b. Misal u = sin x
Sehingga :
Istilah lain untuk integral substitusi adalah pemisalan. Teknik substitusi pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;
a. dx = + C, asalkan n -1 atau
b. = + C, asalkan n -1
Karena rumus di atas adalah pedoman umum. maka integrannya menyesuaikan dengan rumus di atas. Jika belum sesuai atau menyimpang dari bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan demikian setelah integran sesuai dengan bentuk baku integralnya dapat dilakukan dengan mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu. Akhirnya selesaiannya dapat dilakukan dengan metode substitusi.
Perhatikan beberapa contoh berikut:
1. dx
Misal u =
Substitusi bentuk terakhir ke dx, diperoleh
= -2
Dengan rumus dasar di dapat
dx = -2
= -2
= -
2.
Misal A = 3x + 12
d(A) = d(3x+12)
dA = 3 dx
dx =
Sehingga =
=
=
=
=
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:
1.
Jawab
Misal M = (t+2)
M = (t+2)
2M dM = 3(t+2)dt
=
=
= + C
= + C
=
LATIHAN SOAL
Tentukan integral dari fungsi –fungsi berikut dengan menggunakan metode substitusi !
5. INTEGRAL PARSIAL
Secara umum integral parsial digunakan untuk menentukan selesaian integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u = f(x) dan v = g(x).
Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi
y = uv diperoleh
dy = d(uv)
d(uv) = u dv + v du
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh
Sehigga Seperti telah kita ketahui pada turunan jika y = uv maka y ‘ =u ’ v + uv ’. Jika kita integralkan kedua rua, maka akan didapat :
Rumus di atas sering disingkat dengan :
Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi u dv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan tersebut.
Perhatikan beberapa contoh berikut ini.
Tentukan integral persial berikut ini
1.
Jawab
Bentuk diubah menjadi udv,
Misal u = x , dv = 1 dx
dv = cos x dx , v = dx = sin x
Akibatnya = x d(sin x).
Dengan rumus integral parsial
, diperoleh
x d(sin x) = x sin x - d(x)
= x sin x - dx
= x sin x + cos x + C
Akhirnya diperoleh = x sin x + cos x + C
2. dx
Pilih u = x , du = dx
dv = , v = dx =
Sehingga dx =
Berdasarkan rumus integral parsial
, diperoleh
dx =
= -
= -
= -
Contoh 1 : Tentukan :
Penyelesaian : a. Misal 2x = u maka 2 dx = du
Misal dv =
b. Misal x = u maka dx = du
Misal dv = sin x dx maka v = -cos x
LATIHAN SOAL
Tentukan integral berikut dengan metode parsial !
Komentar
Posting Komentar