Kakulus Bab III

BAB III

FUNGSI LIMIT

1. Pengertian limit

Istilah limit dalam matematika hampir sama artinya dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai limit sering dikatakan sebagai nilai pendekatan. Sehingga Limit fungsi f (x) adalah suatu nilai fungsi yang diperoleh melalui proses pendekatan atau dengan variabel x, baik dari arah x yang lebih kecil, maupun dari arah x yang lebih besar.

Secara umum : bila limit f (x) adalah L, untuk x mendekati , maka limit f (x) ditulis

dengan x  a dibaca x mendekati

• Pengertian limit secara intuitif

Untuk memahami pengertian limit secara intuitif, perhatikan contoh berikut:

• Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1, untuk x bilangan real. Berapakah nilai f(x) jika x mendekati 2?

Penyelesaian

Untuk menentukan nilai f(x) jika x mendekati 2, kita pilih nilai-nilai x disekitar 2 (baik dari kiri maupn dari kanan). Kemudian, kita tentukan nilai f(x) seperti terlihat pada tabel berikut:

X	1.8	1.9	1.95	1.96	1.97	1.98	1.99	2	2.01	2.02	2.03
f(x)	4.6	4.8	4.9	4.92	4.94	4.96	4.98	5	5.02	5.4	5.06

Dari tabel di atas, tampak bahwa jika x mendekati 2 dari kiri, f(x) mendekati 5 dari kiri, sedangkan jika x mendekati 2 dari kanan, f(x) mendekati 5 dari kanan.

Teorema Limit

Misal n bilangan bulat positip, k bilangan real, dan adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di titik , maka:

Teorema di atas, dapat diaplikasikan dalam banyak hal pada penyelesaian soal-soal tentang limit.

Contoh:

= 3(2)

= 12

2. Limit fungsi Aljabar

Suatu fungsi f(x) didefinisikan untuk x mendekati a, maka :

Jika x  a maka

• Menentukan limit fungsi

1. Metode Substitusi Langsung

Contoh :

2. Memfaktorkan

Contoh :

1)

2)

3. Mengalikan dengan Sekawan

Contoh :

1)

Jika diketahui fungsi f(x) dan nilai f(a) terdefinisi, maka

Contoh : 1.

2.

Berikut ini akan dibahas limit limit fungsi Aljabar bentuk tak tentu yaitu : .

Limit Bentuk

Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya, kemudian “mencoret” faktor yang sama, lalu substitusikan nilai x = a.

Catatan :

1. Karena , maka sehingga pembilang dan penyebut boleh dibagi dengan

2. Nilai limitnya ada jika dan hanya jika :

3. Jika pembilang atau penyebutnya memuat bentuk akar, maka sebelum difaktorkan dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya.

Contoh :

1.

2.

Limit Bentuk

Limit ini dapat diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel berpangkat tertinggi, selanjutnya menggunakan .

Contoh :

2.

Kesimpulan:

Jika

dan

maka:

1.

2.

3.

Limit Bentuk

Limit ini umumnya memuat bentuk akar:

Cara Penyelesaian :

1. Kalikan dengan bentuk sekawannya !

2. Bentuknya berubah menjadi

3. Selesaikan seperti pada limit sebelumnya.

Contoh:

1.

Sehingga

Secara umum:

Sebagai latihan bagi pembaca, buktikan soal-soal berikut:

3. Limit fungsi Trigonometri

1. Fungsi Trigonometri

Gambar 3.1 segitiga siku-siku

Pada gambar 3.1 di atas, ABC adalah segitiga yang salah satu sudutnya dan siku-siku pada CBA. Misal AB = x, BC = y dan AC = r , berdasarkan segitiga ABC yaitu:

Karena = maka perbandingan tersebut dinyatakan dengan:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Karena ABC salah satu sudutnya siku-siku, sehingga menurut teorema Pythagoras berlaku:

Selanjutnya secara berurutan persamaan dibagi diperoleh persamaan baru

1.

2.

3.

Persamaan (1), (2), dan (3) dinamakan rumus-rumus identitas.

Beberapa rumus fungsi trigonometri yang lain adalah:

Limit fungsi Trigonometri

Dengan menggunakan teorema prinsip apit dan rumus geometri kita dapatkan teorema dasar dari limit fungsi trigonometri sebagai berikut.

Teorema 1

Dalam membuktikan teorema di atas kita dapatkan suatu akibat yaitu

Dengan menggunakan teorema dasar limit fungsi trigonometri dapat dibuktikan teorema-teorema berikut:

Teorema 2

Bentuk-bentuk di atas dinamakan dengan limit fungsi trigonometri. Dengan berpandu pada teorema limit dan bentuk tak tentu. Maka persoalan tentang limit fungsi trigonometri dapat diselesaikan

Untuk keperluan praktis teorema tersebut dapat dikembangkan menjadi:

Seperti pada fungsi aljabar, maka pada fungsi trigonometri juga berlaku bahwa jika f(a) terdefinisi, maka:

Contoh :

1.

Berikut ini akan dibahas limit Fungsi Trigonometri bentuk tak tentu yaitu :

Limit Bentuk

Soal-soal Latihan