Kalkulus Bab I

BAB I

PERTIDAKSAMAAN

1. Definisi Pertidaksamaan

Sebuah Pertidaksamaan adalah pernyataan bahwa dua kuantitas tidak setara nilainya. Salah satu pernyataan matematika yang mengandung satu peubah atau lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda ketidaksamaan, yaitu: <, >, ≤, atau ≥.

2. Sifat-sifat pertidaksamaan antara lain:

1. Jika a > b dan b > c, maka a > c
2. (ii) Jika a > b, maka a + c > b + c
3. (iii) Jika a > b, maka a - c > b – c
4. (iv) Jika a > b dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc
5. (v) Jika a > b dan c adalah bilangan negatif, maka ac < bc

Dengan mengganti tanda > pada sifat-sifat diatas dengan tanda <, maka akan didapat sifat-sifat yang analog sebagai berikut :

6. Jika a < b dan b < c, maka a < c
7. Jika a < b, maka a + c < b + c
8. Jika a < b, maka a - c < b – c
9. Jika a < b dan c adalah bilangan positif, maka ac < bc
10. Jika a < b dan c adalah bilangan negatif, maka ac > bc
11. xi) ac > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0
12. (xii) ac < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0
13. (xiii) a/c > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0
14. (xiv) a/c < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0
15. (xv) Jika a > b, maka –a < -b
16. (xvi) Jika 1/a < 1/b, maka a > b
17. (xvii) Jika a < b < c, maka b > a dan b < c (bentuk komposit)
18. (xviii) Jika a > b > c, maka b < a atau b > c ( bentuk komposit)

3. Jenis pertidaksamaan

Jenis pertidaksamaan anatara laian :

1. Peridaksamaan linear (PANGKAT SATU)
2. Pertidaksamaan kuadrat
3. Pertidaksamaan bentuk pecahan
4. Pertidaksamaan bentuk nilai mutlak ( modus)

1. Peridaksamaan linear (PANGKAT SATU)

Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linier dalam x. yang vareabelnya berderajat satu dengan menggunakan tanda hubung “lebih besar dari” atau “kurang dari”

Sifat-sifatnya :

• Kedua ruas dapat di tambah atau di kurangi dengan bilangan yang sama.
• Kedua ruas dapat dapat dikali atau di bagi dengan bilangan positip yang sama.
• Kedua ruas dapat di bagi atau di kali dengan bilangan negatip yang sama maka penyelesaiannya tidak berubah asal saja arah dari tanda pertidaksamaan di balik

Langkah – langkah menyelesaikan pertidaksamaan linier :

1. Pindahkan semua yang mengandung variabel ke ruas kiri, sedangkan yang tidak mengandung variabel ke ruas kanan.
2. Kemudian sederhanakan

Perhatikan contoh soal berikut:

1. Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 5x – 5 < 7x + 3 !

Jawab

5x – 5 < 7x + 3

5x – 7x < 3 + 5

- 2x < 8

x > - 4

2. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2(x-3) < 4x+8 ?

Jawab

Penyelesaian

2(x-3) < 4x+8

2x - 6 < 4x+8

2x – 4x< 6+8

-2x < 14

X > -7

2. Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum peridaksamaan kuadrat adalah ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta; a 0.

Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat anatara lain:

• Jadikan ruas kanan = 0
• Jadikan koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran)
• Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linier.
• Tetapkan nilai-nilai nolnya
• Tetapkan tanda-tanda pada garis bilangan
• Jawaban didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan pada garis bilangan
  (bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
  bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).

• Langkah-langkah:
  • Tentukan batas-batasnya dengan mengubah ke dalam persamaan kuadrat
  • Buatlah garis bilangan dan masukkan batas yang diperoleh (jika ada) dengan batas yang kecil di sebelah kiri
  • Uji titik pada masing-masing daerah
  • Tentukan HP nya

Contoh soal

1. Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan !

Jawab

( x – 2 ) ( x – 5 ) < 0

x = 2 atau x = 5 ( pembuat nol )

-

+

+

5

2

jadi Hp =

3. Pertidaksamaan bentuk pecahan

pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya mengandung variabel x.

Langkah – langkah menyelesaikan pertidaksamaan pecahan :

• Pindahkan semua bilangan keruas kiri, jadikan ruas kanan = 0
  (ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak)
• Sederhanakan ruas kiri.
• Ubah bentuk menjadi a.b
• Tentukan pembuat nol ruas kiri.
• Tuliskan nilai – nilai tersebut pada garis bilangan.
• Berikan tanda pada setiap interval.
• Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan.
• Selanjutnya, sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Syarat: penyebut pecahan 0

Perhatikan Contoh soal :

1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan !

Jawab

I syarat : X – 1 X 1 - + + 1 -8

II. X = -8 atau x = 1 ( pembuat nol )

Jadi Hp =

4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Merupakan pertidaksamaan dimana variabelnya berada di dalam tanda mutlak. Indikator : Menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear yang memuat nilai mutlak

Cara mencari penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak adalah dengan menggunakan sifat berikut ini :

Perhatikan contoh berikut:

Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan !

Jawab

3x + 2 < - 5 atau 3x + 2 > 5

3x < - 7 3x > 3

x < -7/3 x > 1

Latihan Soal.

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3 + 6x > 3x – 9?
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3(2 - 3x) > -5x + 8 !
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan !
4. himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ( x + 5 ) x 2 ( x² +2 ) !
5. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan !
6. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan !
   
   Download Materi Disini